首先應該明確，穩(wěn)定性分析的對象是動力學系統(tǒng)。人們需要知道某一動態(tài)變化的系統(tǒng)在給定條件下的行為(如不同外界激勵/干擾、不同初始狀態(tài)、自身參數/條件變化時)是否能夠保持在某一范圍內。否則，可能會出現系統(tǒng)嚴重震蕩、“跑飛”或者“失控”等一系列不穩(wěn)定行為。如圖1所示，這些動力學系統(tǒng)既可以是被控對象本身(無控制輸入，受到假想外界擾動時，是否能夠回到原來的平衡位置)，可以是包含被控對象和控制算法的整個被控系統(tǒng)(控制輸出的動態(tài)是否能夠趨近預期軌跡)，也可以是所設計的單個參數辨識/觀測器模塊(辨識/觀測值是否能夠趨近實際值)。

　　其次應該注意到，取決于具體應用場景，穩(wěn)定性分析既可以圍繞動力學系統(tǒng)的某個平衡點/吸引子展開(即狀態(tài)軌跡或者微分方程的解的軌跡相對于某個平衡點/吸引子的空間位置)，也可以圍繞動力學系統(tǒng)中的變量/信號或者某類動態(tài)增益是否有界，是否會以某種速度(指數還是漸進方式)收斂于某個給定區(qū)域展開。穩(wěn)定性分析得到的結果和控制系統(tǒng)所能達到的性能是密切相關的，甚至可以用穩(wěn)定性分析倒推控制算法的設計。

圖 1 穩(wěn)定性分析的對象(被控對象 Plant、辨識 / 觀測模塊、整個被控系統(tǒng))

　　如果能夠保證某一被控系統(tǒng)是全局指數穩(wěn)定的(Globally Exponentially Stable)，那么不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)控制誤差(或者其他變量)能在相當短時間內減小為零，并能夠長期保持在零;如果只能保證某一被控系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定(Locally Asymptotically Stable)，那么在一個較窄的工作范圍內，系統(tǒng)的控制誤差隨著時間增長慢慢減小到零;如果無法保證系統(tǒng)指數/漸近穩(wěn)定性，只能保證輸入輸出有界(Bounded Input Bounded Output)，那么只能預期，系統(tǒng)控制誤差會在收斂在某一范圍內;從這個意義上來說，從穩(wěn)定性展開的分析，能夠清楚定義控制系統(tǒng)所能達到的性能上限，并以此為基礎能夠合理地設計控制器。

　　最后，控制算法模塊(如參數辨識、觀測器等)的引入使得整個被控系統(tǒng)的動力學行為豐富起來(可能會體現出非線性系統(tǒng)的典型動力學行為)，系統(tǒng)失穩(wěn)風險大大增加。因此，在先進控制算法(無論是基于模型還是數據驅動)的實施過程中，不應忽視穩(wěn)定性在控制算法設計和控制系統(tǒng)分析中的基礎性意義，輕視以各種定理為基礎的穩(wěn)定性設計和證明方法，認為只是沒用的數學公式和定理。同時，也不能照搬各種穩(wěn)定性設計方法，應該在深入了解被控系統(tǒng)的基礎上，通過合理的問題抽象和歸類，有針對性地設計控制算法和分析被控系統(tǒng)。

　　穩(wěn)定性定義及分析方法

　　對于初步學習先進控制算法的工程師來說，一個主要的障礙在于各種眼花繚亂的穩(wěn)定性定義和分析方法(如傳遞函數/線性狀態(tài)空間模型下的穩(wěn)定性、自治/非自治非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性)，使得初學者很快淹沒在相關的數學式子和定理中，無法理解這些概念的實際物理意義，更談不上將這些概念有效地在實際中應用。應該注意到，各種穩(wěn)定性的定義和分析方法是建立在“動力學系統(tǒng)所體現出來的動力學行為”以及“描述這些動力學行為的動力學模型”的基礎上。從這個意義上來說，先學習系統(tǒng)動力學建模和分析對于掌握各種穩(wěn)定性概念是十分有益的。實際上，各種穩(wěn)定性定義和分析一般都基于所關心的動力學系統(tǒng)某種給定形式的動力學模型，該模型恰當地描述了待分析系統(tǒng)的動力學行為和所處狀態(tài)(初始條件、有無外界干擾/噪聲、有無控制輸入、控制輸入是狀態(tài)變量還是系統(tǒng)輸出的函數、系統(tǒng)參數是否隨時間變化、有無未建模動態(tài)/不確定性等)。

　　例如：

　　? 經典控制理論中的傳遞函數模型，即描述了初始條件為零時，單輸入/單輸出、線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)輸出/輸入(即動態(tài)增益)的動力學行為。此時，穩(wěn)定性定義主要聚焦于該增益是否會發(fā)散或者無窮大;由此，相應的穩(wěn)定性分析的角度則從傳遞函數特征多項式的解是否有正實部展開(即是否有不穩(wěn)定極點，出現不穩(wěn)定極點時，動態(tài)增益會出現指數增長項);相應的穩(wěn)定性判據則從代數(Routh判據，根據多項式系數判斷根的位置)、復平面(奈奎斯特判據)或者根軌跡(Root-locus)等角度展開;

　　? 線性系統(tǒng)中的狀態(tài)空間模型則描述了線性(定常)條件下，控制輸入、系統(tǒng)狀態(tài)變量、系統(tǒng)輸出(可以表示為狀態(tài)變量的線性函數)之間的動力學行為，著眼于狀態(tài)變量(即系統(tǒng)中獨立變化的動態(tài)變量)的動態(tài)行為。此時，穩(wěn)定性定義則從狀態(tài)軌跡(即狀態(tài)變量的空間軌跡)相對于系統(tǒng)平衡點(即原點)的相對空間位置展開，該狀態(tài)軌跡是否收斂于原點;由此，穩(wěn)定性分析的角度則轉變成系統(tǒng)矩陣是否具有正特征值(即是否有不穩(wěn)定極點，出現不穩(wěn)定極點時，狀態(tài)轉移矩陣/狀態(tài)變量將會出現指數增長項);相應的穩(wěn)定性判據則直接依據系統(tǒng)矩陣的特征值分布展開;

　　? 魯棒控制(Robust Control)中的傳遞函數模型/狀態(tài)空間模型則著重描述非理想因素(如外界干擾、參數/模型不確定性、未建模動態(tài))對系統(tǒng)動力學行為的影響。此時，魯棒穩(wěn)定性(Robust Stability)則主要定義了當這些非理想因素達到什么程度或者幅度(程度/幅度都是不嚴謹的說法，一般采用范數/Norm進行描述，這里使用程度/幅度為保證解釋性)，系統(tǒng)失去穩(wěn)定性;由此，魯棒穩(wěn)定性分析的角度則主要從非理想因素的影響程度展開;相應的穩(wěn)定性判斷依據則依托于小增益定理(Small-gain Theorem);

　　? 非線性系統(tǒng)(Nonlinear System)的動力學行為則豐富得多(如多個孤立的平衡點/吸引子，對初始條件敏感(蝴蝶效應)、極限環(huán)振蕩、有限逃逸時間、混沌/分叉等)，因此，穩(wěn)定性定義和分析最為復雜多樣，如圖2所示(僅列出了常見的穩(wěn)定性概念，這些穩(wěn)定性概念可以看成線性定常系統(tǒng)中穩(wěn)定性概念的泛化)。非線性動態(tài)系統(tǒng)模型采用一般形式的微分方程描述，難以通過解析方式得到狀態(tài)軌跡/系統(tǒng)輸出(小部分非線性系統(tǒng)可以通過在工作點附近做線性近似，轉化為線性定常系統(tǒng)，然后借用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法進行穩(wěn)定性分析)，因此多通過構造函數(即李雅普諾夫Lyaponov函數)間接判斷狀態(tài)軌跡的情況(即不必求解微分方程，就可以判斷解的情況/系統(tǒng)動力學行為)。

圖 2 非線性系統(tǒng)復雜多變的穩(wěn)定性

　　由此，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的角度則主要從構造合適的Lyaponov函數，并分析Lyaponov函數的性質展開;相應的穩(wěn)定性判斷依據則主要分析構造的Lyaponov函數是否滿足給定的數學性質。

　　值得注意的是，圖2中的各種穩(wěn)定性在一定條件下可以互相轉化：如果控制輸入u為狀態(tài)變量的函數(狀態(tài)反饋)，則有控制輸入u的穩(wěn)定性可以轉化為無控制輸入的穩(wěn)定性;如果干擾項g具有和標稱系統(tǒng)同樣的平衡點，則魯棒穩(wěn)定性分析可以借用無控制輸入的穩(wěn)定性分析;輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性的分析可以為輸入-輸出穩(wěn)定性分析奠定基礎。當將這些穩(wěn)定性概念運用到控制算法設計中，模型中的狀態(tài)變量或者系統(tǒng)輸出可以是控制誤差或者辨識/觀測誤差等。

圖 3 將穩(wěn)定性分析運用到參數辨識算法和控制器設計中去

　　因此，穩(wěn)定性分析應該基于對被控系統(tǒng)動力學行為深刻認識和理解的基礎上展開：首先根據分析目的和應用場景，確定要分析的是什么對象(參考圖1)，這種對象又具有什么特征的動力學行為表現和模型描述形式，對應的是那種類型的穩(wěn)定性(參考圖2)，然后再有針對性地利用相關數學方法/定理去進行具體分析和設計。將穩(wěn)定性分析運用到控制算法設計中去，穩(wěn)定性分析主要驗證所關心的動力學系統(tǒng)的動力學行為是否能夠保持在一定范圍內(如狀態(tài)軌跡之于平衡點的位置、系統(tǒng)輸出/輸入增益有界等);而“控制算法”本質是一種人為設計的“動力學系統(tǒng)”。人們設計這種動力學系統(tǒng)，目的在于和“被控對象”這一“動力學系統(tǒng)”相互作用后，包含控制算法的“整個被控系統(tǒng)”的“動力學行為”符合目標性能要求，這些目標性能首先要保證的是穩(wěn)定性。從這個意義上來說，穩(wěn)定性分析是控制算法設計的題中之義。

　　更為重要的是，對于一些先進控制算法來說(如自適應控制算法、滑膜控制、基于觀測器的控制系統(tǒng)等)，被控系統(tǒng)的動力學行為更為復雜，整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性很大程度上取決于控制算法參數的選取和設計，控制算法的設計更是主要基于穩(wěn)定性分析和Lyaponov函數的構造，出現了大量以Lyaponov為基礎的控制算法設計方法。因此，將穩(wěn)定性分析的概念靈活運用到控制算法的設計就顯得格外重要了。例如，對于間接自適應控制系統(tǒng)來說(參考圖3)，整個控制系統(tǒng)一般由兩個動態(tài)系統(tǒng)組成，一個參數辨識動態(tài)(即辨識出來的參數是否逐步收斂到真實值)，另外一個是由控制器和被控對象組成的被控系統(tǒng)(即控制誤差是否逐步減小到零)，兩者都依賴于系統(tǒng)輸出進行在線更新(一般反饋回路動態(tài)快于參數辨識動態(tài))。由于參數辨識動態(tài)和控制輸入，使得整個被控系統(tǒng)表現為非線性(參數辨識算法)、時變(參數實時辨識/更新)系統(tǒng)，加上模型不確定性，很有可能出現參數辨識結果發(fā)散以及由此導致的控制誤差無窮大的情況。

　　因此，自適應控制一般通過設計Lyaponov函數以及穩(wěn)定性分析使得控制誤差和參數辨識誤差均有界：Lyaponov函數中的控制誤差項的導數一般是(控制誤差、控制輸入、狀態(tài)變量以及辨識參數誤差)的函數，通過設計辨識參數更新率，消除Lyaponov函數導數項中的參數辨識誤差項，且使得Lyaponov函數半負定，只依賴于控制誤差。

　　總結

　　從“動力學系統(tǒng)所體現出來的動力學行為”以及“描述這些動力學行為的動力學模型”的角度理解穩(wěn)定性，對于正確理解各種穩(wěn)定性概念、分析和設計方法、以及在先進控制算法和控制系統(tǒng)設計中靈活運用這些概念是至關重要的。在學習和運用穩(wěn)定性分析的相關方法時，首先還是要從系統(tǒng)動力學的角度分析自己的被控對象，然后再有針對性地深入到具體理論推導和穩(wěn)定性分析中去，避免陷入“學了一大推概念，但感覺對現實問題無所助益，最后覺得理論分析無用，解決不了實際問題”的尷尬現狀。