摘要：本文介紹了一種基于ARMA模型擬合的離線伺服系統(tǒng)環(huán)路辨識方案，與常用方案進(jìn)行了比較，分析了該方案在原理、應(yīng)用上的技術(shù)優(yōu)勢，最后在通用伺服產(chǎn)品平臺上驗證該方案的有效性。實驗結(jié)果表明，該方案對噪聲不敏感，在多種負(fù)載平臺上均能獲得較高的辨識精度，并且能準(zhǔn)確識別系統(tǒng)中存在的諧振模態(tài)。

通用伺服系統(tǒng)需要適應(yīng)廣泛的負(fù)載條件，其中高階系統(tǒng)、柔性系統(tǒng)、多諧振系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的調(diào)試往往難以通過常用的調(diào)試經(jīng)驗獲得滿意的效果。環(huán)路特性分析是解決此類問題的有效方法，其理論依據(jù)為成熟的經(jīng)典控制理論，實現(xiàn)基礎(chǔ)為模型參數(shù)辨識方法。

伺服系統(tǒng)模型參數(shù)辨識方法從實時性角度上可分為兩大類：離線辨識與在線辨識^[1]。前者通過數(shù)據(jù)的集中存儲與處理，一次性獲得辨識結(jié)果，后者在伺服驅(qū)動器運行過程中遞推估計當(dāng)前參數(shù)值。在線辨識方法在伺服應(yīng)用中廣受推崇，因其能適應(yīng)緩變的模型參數(shù)。但受限于嵌入式處理器的運算能力與伺服系統(tǒng)實時性要求，此類方法往往只能應(yīng)用于慣量、電阻、電感等低階模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識，無法獲得完整環(huán)路特性，并且在估算精度與響應(yīng)速度存在較大的矛盾，進(jìn)一步限制了其通用性。離線辨識方法相較于在線辨識方法更為成熟，應(yīng)用范圍更廣，在精密、高性能伺服系統(tǒng)中的作用不可替代。近些年出現(xiàn)的狀態(tài)空間^[2]辨識方法極大地提高了辨識精度，而Hinf魯棒控制^[3]等先進(jìn)控制理論的發(fā)展使得控制器能夠適應(yīng)一定范圍內(nèi)的模型參數(shù)變化，這些技術(shù)都進(jìn)一步擴(kuò)展了離線辨識技術(shù)的應(yīng)用空間。

目前通用伺服產(chǎn)品中最廣泛應(yīng)用的離線辨識方法為掃頻FFT法，該方法計算簡單可靠，可直接獲得環(huán)路的頻率特性數(shù)據(jù)，屬于無模型辨識方法。其顯著缺點為辨識精度低，對噪聲敏感。基于模型的辨識方法在各方面性能上都優(yōu)于掃頻法，并且在模型結(jié)構(gòu)與辨識方法上呈多元化的發(fā)展趨勢，常見的模型有AR、MA、ARMA、SS（狀態(tài)空間）,常見的辨識方法有Yule-Walker^[4]、LeastSquare最小二乘^[5]、Hankel矩陣法^[6]、Subspace子空間法^[2]。

上述模型類型中，AR模型不符合一般線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，MA模型不適用于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，且需要的階數(shù)較高。系統(tǒng)階數(shù)相同的情況下，ARMA模型的參數(shù)數(shù)量遠(yuǎn)少于一般結(jié)構(gòu)的SS模型，在數(shù)值穩(wěn)定性上具有優(yōu)勢，并且ARMA模型本身可以視為SS模型的能控（或能觀）標(biāo)準(zhǔn)型。上述辨識方法雖然都有相對獨立的理論，但辨識過程中的參數(shù)擬合都無法避開最小二乘指標(biāo)，只是將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為不同結(jié)構(gòu)的正規(guī)方程再進(jìn)行求解。對于ARMA模型，將時域激勵與響應(yīng)數(shù)據(jù)簡單排布后即可用線性最小二乘方法求得結(jié)果，并且對激勵形式幾乎沒有約束。目前線性最小二乘的數(shù)值解法十分成熟，即便是秩虧方程也能準(zhǔn)確求得結(jié)果^[7]，這對于使用高階ARMA模型對復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行過擬合的應(yīng)用場景十分合適。擬合后使用平衡實現(xiàn)對系統(tǒng)進(jìn)行降階即可獲得足夠精簡且準(zhǔn)確的環(huán)路模型。

本文在原理、實現(xiàn)、應(yīng)用層面上分別闡述基于ARMA模型擬合的伺服環(huán)路辨識技術(shù)。

1、ARMA模型結(jié)構(gòu)與辨識方法

實際帶載伺服系統(tǒng)為非線性、分布式系統(tǒng)，在確定的工作點上可將其近似為線性系統(tǒng)，用差分方程描述，但傳動結(jié)構(gòu)的分布式特性使其理論階數(shù)趨于無限，因此要用盡可能高階的ARMA模型對系統(tǒng)輸入-響應(yīng)關(guān)系進(jìn)行過擬合，才能準(zhǔn)

確描述系統(tǒng)頻率特性。

N階ARMA模型結(jié)構(gòu)描述如下：

其時域差分方程為：

其中（2）式為自回歸(AR)部分，（3）式為移動平均（MA）部分。差分方程的矩陣形式即為正規(guī)方程，描述如下：

當(dāng)采樣點數(shù)K大于2N且H列滿秩時，方程（4）為滿秩最小二乘問題，存在唯一最小二乘解當(dāng)采樣點數(shù)K大于2N且H列不滿秩時，方程（4）為秩虧最小二乘問題，存在唯一最小2范數(shù)條件下的最小二乘解兩種問題的解可以統(tǒng)一至以下形式^[8]：

為的偽逆（Moore-Penrose inverse），其定義由的奇異值（SVD）分解得到：

H有r個線性無關(guān)列向量，D為r階對角矩陣，其對角線元素為H的r個奇異值，Ur、Vr為H的r個左、右奇異向量。

實際系統(tǒng)中，由于噪聲的存在，H往往具備列滿秩條件，但存在大量數(shù)值極小的奇異值，即實際問題往往介于滿秩與秩虧之間。這些奇異值會對最小二乘解的數(shù)值穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響，可以對其進(jìn)行截斷，再求取最小2范數(shù)解，相當(dāng)于對模型進(jìn)行初步的降階。

由于H與Y具有相同的數(shù)據(jù)源，包含相同的噪聲，使用Total?Least?Square作為上述方法的改進(jìn)型更為合理有效，這里不再對其原理進(jìn)行贅述。

2、辨識方案實現(xiàn)

2.1 激勵信號

使用最小二乘法對ARMA模型進(jìn)行辨識時，對激勵信號u的形式未作限制，選擇頻譜成分豐富且實現(xiàn)簡單的激勵信號更

有利于獲得準(zhǔn)確的辨識結(jié)果。偽隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)接近脈沖函數(shù)，頻譜成分均勻，且可用簡單邏輯運算與移位寄存器實現(xiàn)，是理想的激勵信號形式。

偽隨機(jī)信號生成器形式如下圖1：

Bit0~BitN為N位寄存器，P0~PN為N次本原多項式系數(shù)。在非零初值條件下，該結(jié)構(gòu)輸出周期為的1/-1序列，其自相關(guān)函數(shù)為：

2.2  激勵方式與數(shù)據(jù)采樣

偽隨機(jī)信號放大后從伺服轉(zhuǎn)速環(huán)路的指令端注入系統(tǒng)，在一定的轉(zhuǎn)速偏置條件下記錄轉(zhuǎn)速誤差與轉(zhuǎn)速反饋數(shù)據(jù)，基

本結(jié)構(gòu)如下圖2：

圖2 偽隨機(jī)信號注入系統(tǒng)圖

閉環(huán)模型辨識時，求取u至y的擬合結(jié)果，開環(huán)模型辨識時，求取u-y至y的擬合結(jié)果。辨識過程中環(huán)路閉合，可建立勻速工作點。由于積分器的存在，速度環(huán)路低頻增益極高，u-y的低頻成分基本被環(huán)路抑制，因此開環(huán)辨識的低頻部分精度會受一定限制。

2.3、模型降階

過擬合的ARMA模型階數(shù)往往很高，其中大量模態(tài)來源于對噪聲的擬合、系統(tǒng)分布參數(shù)以及小慣性環(huán)節(jié)，辨識之后需要對其進(jìn)行降階處理，提取關(guān)鍵模態(tài)信息，才能確保后期的環(huán)路分析與控制綜合的有效性。

平衡實現(xiàn)與系統(tǒng)Hankel奇異值的是進(jìn)行系統(tǒng)降階、定階的有效工具，將ARMA模型轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型后，即可借由以

下原理實現(xiàn)模型簡化：

對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)的能控能觀實現(xiàn)

其能控Gramian矩陣P與能觀Gramian矩陣Q滿足Stein方程：

存在如下等價變換：

使得等價模型的能控能觀Gramian矩陣能被對角化為相同矩陣：

對角線元素為系統(tǒng)的Hankel奇異值，從左上角按大至小的順序排布，其數(shù)值大小代表了對應(yīng)模態(tài)能控能觀性的強(qiáng)弱。一個實際階數(shù)為r的系統(tǒng)，其第r個Hankel奇異值一般遠(yuǎn)大于第r+1個，此時，截取A，B，C，D的前r階子矩陣（或子向量）構(gòu)成的子系統(tǒng)，其頻率特性相對于原系統(tǒng)誤差的Hinf范數(shù)小于等于第r+1至最后一個Hankel奇異值之和的兩倍^[3]。等價變換矩陣T的求解過程參考文獻(xiàn)^[3]。

3 實驗結(jié)果

驅(qū)動平臺使用雷賽智能L7伺服驅(qū)動器配合400w電機(jī)，成熟穩(wěn)定，性能優(yōu)秀。在兩種實驗負(fù)載（絲桿\皮帶測試平臺）與兩種實際工業(yè)設(shè)備上（光纖激光機(jī)\噴繪機(jī)）進(jìn)行辨識試驗并輸出頻率特性，多方面驗證方案有效性。

試驗參數(shù)選取250階的ARMA模型對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行過擬合，降階至24階后輸出頻域量化結(jié)果。圖3-6展示了開環(huán)與閉環(huán)幅頻特性。

絲桿負(fù)載上的聯(lián)軸器諧振點在1kHz以上，中低頻區(qū)域呈現(xiàn)出明顯的單質(zhì)量系統(tǒng)特征（圖3）。

圖3 絲桿測試臺辨識結(jié)果

絲桿負(fù)載上的聯(lián)軸器諧振點在1kHz以上，中低頻區(qū)域呈現(xiàn)出明顯的單質(zhì)量系統(tǒng)特征；

圖4 皮帶測試平臺辨識結(jié)果

皮帶負(fù)載為柔性負(fù)載，諧振點在100Hz附近，頻率特性具有典型雙質(zhì)量系統(tǒng)特征。

激光機(jī)與噴繪機(jī)內(nèi)部使用了多級的傳動結(jié)構(gòu)，辨識出的環(huán)路特性明顯包含更復(fù)雜的模態(tài)組合方式。

圖5 光纖激光機(jī)辨識結(jié)果

圖6 噴繪機(jī)辨識結(jié)果

4  結(jié)論

綜上所述，基于ARMA模型擬合的伺服環(huán)路辨識方案能在各種工況下準(zhǔn)確辨識速度環(huán)路模型，反映諧振模態(tài)等關(guān)鍵系統(tǒng)

特征，同時具有良好的參數(shù)適應(yīng)性以及對工業(yè)噪聲環(huán)境的不敏感性，降低了應(yīng)用人員進(jìn)行環(huán)路分析操作的難度。

5 致謝

本項目得到了深圳市科技計劃項目資助（項目編號：JSGG20170823162905889）。

參考文獻(xiàn)

[1] 羅慧, 尹泉, 孫明明. 交流伺服系統(tǒng)參數(shù)辨識方法綜述[J]. 伺服控制, 2012(1):27-29.

[2] 片山, 徹. Subspace Methods for System Identification[M]. Springer London, 2005.

[3] Zhou K , Doyle J C . Essentials of Robust Control[M]. Upper Saddle River, 1999: 38.

[4] John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Digital Signal Processing, 4e: Principles, Algorithms, and Applications[M]. Prentice-Hall, 1996.

[5] Kay S M . Fundamentals of statistical signal processing[J]. Technometrics, 1993, 37(4):465-466.

[6] 聞成, 邱小紅, 王元. Hankel矩陣辨識法在天線伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 測控技術(shù), 2015.

[7] Gene H G, Charles F.van Load. Matrix computation[M]. Computing Systems in Engineering, 2003.

[8] Williams, Gareth. Linear Algebra and its Application[M]. 2005.

作者簡介

陳迪(1990)，男，碩士，研究方向為控制理論與控制工程， chendi@leisai.com