柔性臂因其質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)緊湊等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在航天器、柔性機(jī)器人等領(lǐng)域，但是，其末端在運(yùn)行過程中易產(chǎn)生抖動(dòng)，嚴(yán)重影響其工作效率和定位精度，甚至危害整個(gè)系統(tǒng)的安全。國內(nèi)外研究人員針對柔性臂的振動(dòng)抑制問題，提出了PID控制、模糊控制、自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、最優(yōu)控制等控制方法，對柔性臂振動(dòng)抑制的反饋控制方法進(jìn)行了探討。輸入整形技術(shù)由Singer和Seering首次提出，被廣泛應(yīng)用于柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制，該方法屬于前饋控制方法，也是一種獨(dú)特的振動(dòng)抑制方法。Youmin等將輸入整形技術(shù)應(yīng)用于橋式起重機(jī)，抑制抖動(dòng)的同時(shí)也提高了起重機(jī)的運(yùn)輸效率；Alsaibie等應(yīng)用輸入整形抑制了液體在運(yùn)輸過程中的晃動(dòng)；Dhanda等對輸入整形器進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)最優(yōu)輸入整形器有效抑制了起重機(jī)的殘留振動(dòng)；Pradhan等將輸入整形與自適應(yīng)控制結(jié)合來控制擺動(dòng)負(fù)載的左右晃動(dòng)。但是輸入整形技術(shù)在抑制柔性系統(tǒng)振動(dòng)的同時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間延遲，嚴(yán)重降低系統(tǒng)的工作效率。

   本文針對輸入整形技術(shù)引起的響應(yīng)時(shí)間延遲問題，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)最優(yōu)輸入整形器以減小系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，并將最優(yōu)輸入整形器與模糊PID控制器結(jié)合進(jìn)行柔性臂的振動(dòng)抑制。

柔性臂動(dòng)力學(xué)模型

   繞伺服電機(jī)轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的柔性臂機(jī)械結(jié)構(gòu)和物理模型如圖1所示。

   圖1(a)中，伺服電機(jī)轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)盤連接，柔性臂的一端通過轉(zhuǎn)盤夾頭連接在電機(jī)轉(zhuǎn)軸上，質(zhì)量塊附于另一端，基座用于固定整個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。圖1(b)中，設(shè)以電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心O為原點(diǎn)建立慣性系XOY和體坐標(biāo)系xOy，柔性臂的彈性模量為E，橫截面對中性軸的慣性矩為I，密度為，截面面積為A，長度為l，末端質(zhì)量塊質(zhì)量為ml，伺服電機(jī)轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和為J0，柔性臂運(yùn)動(dòng)所對應(yīng)剛體轉(zhuǎn)角為θ(t)，轉(zhuǎn)軸輸入控制力矩為u(t)。

   假設(shè)柔性臂橫向振動(dòng)遠(yuǎn)大于軸向振動(dòng)且橫向振動(dòng)較小，根據(jù)振動(dòng)力學(xué)原理，柔性臂可視為Euler-Bernoulli梁。設(shè)P(X,Y)為時(shí)刻t的柔性臂上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，w(x,t)為P點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy下的橫向彈性振動(dòng)位移，根據(jù)Euler-Bernoulli梁的振動(dòng)理論，均勻材料等截面柔性臂的彎曲自由振動(dòng)微分方程為

柔性臂振動(dòng)抑制的新型控制策略

   改進(jìn)的前饋控制器結(jié)合反饋控制器構(gòu)成一種新型控制策略對柔性臂振動(dòng)進(jìn)行抑制，柔性臂伺服系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示。

   根據(jù)設(shè)計(jì)的最優(yōu)輸入整形器與控制指令卷積運(yùn)算，輸出結(jié)果作為伺服閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸入，經(jīng)過模糊PID控制器傳遞給伺服驅(qū)動(dòng)器來驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)，編碼器將位置和速度信號反饋到控制器和驅(qū)動(dòng)器，整個(gè)伺服驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)完成柔性臂水平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?？刂葡到y(tǒng)中，模糊PID控制器和最優(yōu)輸入整形器分別實(shí)現(xiàn)了柔性臂伺服系統(tǒng)的閉環(huán)控制和前饋控制。

1.最優(yōu)輸入整形器設(shè)計(jì)

   輸入整形技術(shù)是將一系列脈沖序列與期望輸入進(jìn)行卷積運(yùn)算，所生成的控制指令作為運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的輸入。其中，根據(jù)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率和阻尼比所設(shè)計(jì)的脈沖序列稱為輸入整形器(InputShaper，IS)，其整形過程如圖3所示。為研究輸入整形技術(shù)，考慮典型的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

   設(shè)計(jì)輸入整形器關(guān)鍵在于確定脈沖序列的幅值和作用時(shí)刻，以柔性臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型建立二次型目標(biāo)函數(shù)，基于最優(yōu)理論設(shè)計(jì)出最優(yōu)輸入整形器，使目標(biāo)函數(shù)最小。經(jīng)計(jì)算，求得使柔性臂系統(tǒng)振動(dòng)最小的最優(yōu)輸入整形器[13-14]（OptimalInput

   假定可容許的柔性臂殘留振動(dòng)幅值Vexp=5%，對殘留振動(dòng)表達(dá)式(12)進(jìn)行靈敏度曲線分析，典型輸入整形器的脈沖作用時(shí)刻T1為柔性臂系統(tǒng)振動(dòng)周期的1/2時(shí)達(dá)到零振動(dòng)，而最優(yōu)輸入整形器的脈沖作用時(shí)刻T1可以適當(dāng)小的進(jìn)行選擇。

2.模糊PID控制器設(shè)計(jì)

   針對第1部分建立的柔性臂動(dòng)力學(xué)模型，引入自適應(yīng)模糊PID控制器。自適應(yīng)模糊PID控制器的原理如圖4所示。

   其實(shí)現(xiàn)思想是：首先找出PID三個(gè)參數(shù)與角度偏差e和偏差變化率ec之間的模糊關(guān)系，在運(yùn)行中通過不斷檢測e和ec，再根據(jù)預(yù)先設(shè)計(jì)好的模糊規(guī)則庫，進(jìn)行模糊推理運(yùn)算，對PID參數(shù)的修正量（Δkp、Δki和Δkd）進(jìn)行在線調(diào)整，以滿足不同時(shí)刻偏差和偏差變化對PID參數(shù)的整定要求，從而使柔性臂伺服控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能，最終得到PID控制器的3個(gè)參數(shù)，其中，K’p，K’i和K’d為預(yù)整定值。Kp=K’p+Δkp，Ki=K’i+Δki，Kd=K’d+Δkd。

   根據(jù)系統(tǒng)的輸出特性，針對不同的誤差e和誤差變化率ec，自整定PID控制參數(shù)設(shè)計(jì)原則如下：

   （1）當(dāng)誤差的絕對值|e|較大時(shí)，為了加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，Kp應(yīng)取較大，同時(shí)為了避免由于開始時(shí)|e|的瞬間變大可能出現(xiàn)微分過飽和而使控制作用超出了許可范圍，應(yīng)取較小的Kd，同時(shí)為了防止系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)較大的超調(diào)，通常取Ki=0；

   （2）當(dāng)誤差的絕對值|e|和誤差變化率的絕對值|ec|處于中等大小時(shí)，為使系統(tǒng)響應(yīng)具有較小的超調(diào)，Kp應(yīng)取的小一些，Ki取值要適當(dāng)，這種情況Kd的取值對系統(tǒng)影響較大，取值要大小適中，以保證系統(tǒng)的響應(yīng)速度；

   （3）當(dāng)誤差的絕對值|e|較小即接近于設(shè)定值時(shí)，為使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能，應(yīng)增大Kp和Ki的取值，同時(shí)為避免在設(shè)定值附近出現(xiàn)振蕩，并考慮系統(tǒng)的抗干擾性能，Kd的取值很重要，一般當(dāng)|ec|較小時(shí)，Kd可取得大一些，當(dāng)|ec|較大時(shí)，Kd應(yīng)取得小一些。

   根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)，分析PID三個(gè)控制參數(shù)與e、ec之間的模糊關(guān)系，建立針對PID控制參數(shù)Kp、Ki、Kd的模糊規(guī)則分別如表1~表3所示。

   本控制系統(tǒng)的誤差為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)角誤差，角度誤差和角度誤差變化率經(jīng)三角形隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化處理，根據(jù)設(shè)定的模糊規(guī)則表，采用最大最小模糊推理，得到模糊輸出量，最后運(yùn)用加權(quán)平均法解模糊化，得到在輸出論域范圍內(nèi)的精確輸出量，實(shí)現(xiàn)模糊PID控制器參數(shù)自整定。

仿真分析與實(shí)驗(yàn)研究

   本文研究的柔性臂結(jié)構(gòu)參數(shù)為：密度為7800kg/m3，彈性模量E為210Gpa，長度l為0.22m，截面高度h為0.001，截面寬度b為0.008m，質(zhì)量塊質(zhì)量ml為0.037kg。對柔性臂的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行分析，在運(yùn)動(dòng)過程中，柔性臂的前一階模態(tài)占主導(dǎo)地位。取前一階模態(tài)即N=1，根據(jù)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間方程表達(dá)式(10)及相應(yīng)的代數(shù)式可計(jì)算出轉(zhuǎn)矩輸入為u，末端角度輸出為y的旋轉(zhuǎn)柔性臂動(dòng)力學(xué)方程

   為驗(yàn)證本文提出的新型控制策略有效性，構(gòu)建了柔性臂伺服控制系統(tǒng)的MATLAB仿真模型，設(shè)計(jì)了如表4的3種控制方案進(jìn)行對比研究。

   柔性臂在水平面內(nèi)進(jìn)行90°旋轉(zhuǎn)點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)，通過式(6)得到一階模態(tài)下的頻率為1.5764Hz，選取最優(yōu)輸入整形器的時(shí)滯T1=0.058s，代入式(18)得最優(yōu)輸入整形器的脈沖幅值和時(shí)滯

   為比較最優(yōu)輸入整形器與典型輸入整形器對柔性臂振動(dòng)抑制效果，根據(jù)式(15)設(shè)計(jì)典型輸入整形器的脈沖幅值和時(shí)滯

   未加輸入整形器時(shí)，系統(tǒng)給定指令從零時(shí)刻開始，加入輸入整形器后，輸入指令作用時(shí)間會(huì)延遲，且最優(yōu)輸入整形器的時(shí)滯小于典型輸入整形器的時(shí)滯，柔性臂的控制輸入指令如圖5所示。

   未加輸入整形器時(shí)，系統(tǒng)末端振動(dòng)需要一段時(shí)間才能停止，且角位移大，加入輸入整形器后，殘留振動(dòng)很快得到抑制，與典型輸入整形器相比較，最優(yōu)輸入整形器縮短了系統(tǒng)的響應(yīng)延遲時(shí)間，柔性臂的角位移跟蹤響應(yīng)如圖6所示。

   未加輸入整形器時(shí)，柔性臂末端彈性振動(dòng)經(jīng)過4s左右才消失，最優(yōu)輸入整形器的加入使系統(tǒng)在2s內(nèi)抑制末端殘留振動(dòng)，且振幅小于10mm，柔性臂末端彈性振動(dòng)位移如圖7所示。

   與采用模糊PID控制器相比，結(jié)合最優(yōu)輸入整形器和模糊PID控制器的柔性臂控制系統(tǒng)的末端彈性振幅減少了46%。與采用典型輸入整形器相比，基于最優(yōu)輸入整形器的柔性臂末端彈性振動(dòng)速度在1s內(nèi)趨近于零，且響應(yīng)時(shí)間縮短66.7%，柔性臂末端彈性振動(dòng)速度的快慢響應(yīng)如圖8所示。

   仿真結(jié)果表明，與自適應(yīng)模糊PID控制器的柔性臂振動(dòng)抑制系統(tǒng)相比，輸入整形器的引入抑制了柔性臂的振動(dòng)，且最優(yōu)輸入整形器縮短了典型整形器帶來的延遲時(shí)間。

   柔性臂振動(dòng)抑制的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)硬件部分包括PC機(jī)、固高GT400-SV運(yùn)動(dòng)控制卡、柔性臂、伺服電機(jī)、伺服驅(qū)動(dòng)器、示波器以及帶激光頭的高速測振儀Polytec-OFV5000；軟件設(shè)計(jì)部分是在VC++6.0環(huán)境下對柔性臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，如圖9所示。

   柔性臂在水平面上進(jìn)行90°的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)，用激光測振儀測量柔性臂末端的振動(dòng)情況，輸出量在示波器上顯示，輸出單位為200μm/v，對如表4的3種控制方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，測量結(jié)果如圖10-12所示。

   從圖10-12所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，設(shè)定末端振動(dòng)位移0.12mm為最終穩(wěn)定標(biāo)定幅值。由于激光測振儀對大幅度的位移無法檢測，所以圖10所示的前部分柔性臂振動(dòng)位移為限幅值4mm，基于模糊PID控制的柔性臂末端振動(dòng)位移到達(dá)標(biāo)定值的時(shí)間為5.25s；圖11表示基于模糊PID和典型輸入整形器的末端振動(dòng)狀況，經(jīng)過1.78s后末端位移達(dá)到0.12mm；圖12中表示加入最優(yōu)輸入整形器后柔性臂末端振動(dòng)位移量，其到達(dá)標(biāo)定幅值的時(shí)間為0.26s。

結(jié)論

   針對柔性臂末端振動(dòng)抑制存在響應(yīng)時(shí)間延遲的問題，采用模糊PID控制器作為反饋控制器建立了柔性臂的角度控制器，并將設(shè)計(jì)的最優(yōu)輸入整形器作為前饋控制器，前饋控制結(jié)合反饋控制構(gòu)建了柔性臂的振動(dòng)抑制系統(tǒng)。研究結(jié)果表明，最優(yōu)輸入整形器與模糊PID控制器相結(jié)合的新型控制策略能更好地抑制柔性臂末端的振動(dòng)，減少系統(tǒng)的時(shí)間延遲，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。