摘要：論文闡述了最優(yōu)控制理論的基本思想、最優(yōu)控制問題及常用求解方法，并且通過最優(yōu)化的控制方法介紹了其在工程上的幾種應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制；電力系統(tǒng)；醫(yī)療設(shè)備

引言

最優(yōu)控制理論[1]研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學(xué)科，屬于現(xiàn)代控制技術(shù)的核心內(nèi)容，是現(xiàn)代理論的一個(gè)研究熱點(diǎn)和中心話題，著重于研究使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。最優(yōu)控制理論所研究的問題可以概括為：對一個(gè)受控的動力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動過程，從一類允許的控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動在由某個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。這類問題廣泛存在于技術(shù)領(lǐng)域或社會問題中。例如，確定一個(gè)最優(yōu)控制方式使空間飛行器由一個(gè)軌道轉(zhuǎn)換到另一軌道過程中燃料消耗最少，選擇一個(gè)溫度的調(diào)節(jié)規(guī)律和相應(yīng)的原料配比使化工反應(yīng)過程的產(chǎn)量最多，制定一項(xiàng)最合理的人口政策使人口發(fā)展過程中老化指數(shù)、撫養(yǎng)指數(shù)和勞動力指數(shù)等為最優(yōu)等，都是一些典型的最優(yōu)控制問題。最優(yōu)控制理論是50年代中期在空間技術(shù)的推動下開始形成和發(fā)展起來的。蘇聯(lián)學(xué)者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學(xué)者R.貝爾曼1956年提出的動態(tài)規(guī)劃，對最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展起了重要的作用。線性系統(tǒng)在二次型性能指標(biāo)下的最優(yōu)控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。

為了解決最優(yōu)控制問題，必須建立描述受控運(yùn)動過程的運(yùn)動方程，給出控制變量的允許取值范圍，指定運(yùn)動過程的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，并且規(guī)定一個(gè)評價(jià)運(yùn)動過程品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)。通常，性能指標(biāo)的好壞取決于所選擇的控制函數(shù)和相應(yīng)的運(yùn)動狀態(tài)。系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)受到運(yùn)動方程的約束，而控制函數(shù)只能在允許的范圍內(nèi)選取。因此，從數(shù)學(xué)上看，確定最優(yōu)控制問題可以表述為：在運(yùn)動方程和允許控制范圍的約束下，對以控制函數(shù)和運(yùn)動狀態(tài)為變量的性能指標(biāo)函數(shù)（稱為泛函）求取極值（極大值或極小值）。解決最優(yōu)控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃。

1.最優(yōu)控制問題

1.1最優(yōu)控制問題的本質(zhì)

確定一個(gè)最優(yōu)控制u^*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)X(t₀)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)X(t_f)，并使性能指標(biāo)J[u]為極大（?。┲担藭r(shí)，u（t）稱為最優(yōu)控制作用，記為u^*(t)。代入u^*(t)所得X^*(t)為最優(yōu)狀態(tài)軌線。J為最優(yōu)性能指標(biāo)。

1.2最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)

用以下四個(gè)方程來描述：

2.最優(yōu)控制理論常用的解決方法

⑴間接法(又稱解析法)

對于目標(biāo)函數(shù)及約束條件具有簡單而明確的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的最優(yōu)化問題，通?？刹捎瞄g接法(解析法)來解決。

其求解方法是先按照函數(shù)極值的必要條件，用數(shù)學(xué)分析方法(求導(dǎo)數(shù)方法或變分方法)求出其解析解，然后按照充分條件或問題的實(shí)際物理意義間接地確定最優(yōu)解。

⑵直接法(數(shù)值解法)

對于目標(biāo)函數(shù)較為復(fù)雜或無明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式或無法用解析法求解的最優(yōu)化問題，通?？刹捎弥苯臃?數(shù)值解法)來解決。

直接法的基本思想，就是用直接搜索方法經(jīng)過—系列的迭代以產(chǎn)生點(diǎn)的序列(簡稱點(diǎn)列)，使之逐步接近到最優(yōu)點(diǎn)。直接法常常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)而得到的。

⑶解析法為基礎(chǔ)的數(shù)值解法。解析與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法。

⑷絡(luò)最優(yōu)化方法。以網(wǎng)絡(luò)圖作為數(shù)學(xué)模型，用圖論方法進(jìn)行投索的尋優(yōu)方法。

3.工程應(yīng)用

30多年來，最優(yōu)控制理論不僅有了許多成功的應(yīng)用，而且已經(jīng)越出了自然控制的傳統(tǒng)界限，它在系統(tǒng)工程、經(jīng)濟(jì)管理與決策，特別是空間技術(shù)等眾多領(lǐng)域都有其廣泛地應(yīng)用，收到了非常顯著的效果。正是上述原因，人們對最優(yōu)控制的研究日趨深入，如今已成為學(xué)術(shù)界非?；钴S的一門學(xué)科。它正處于數(shù)學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)交叉發(fā)展的前沿。

現(xiàn)在隨著工業(yè)自動化的不斷發(fā)展，最優(yōu)控制理論已經(jīng)應(yīng)用在電力系統(tǒng)勵(lì)磁控制，生產(chǎn)與庫存管理，水資源利用與水污染防治投入控制，醫(yī)療設(shè)備控制，汽車操縱逆動力學(xué)等很多工程領(lǐng)域。

下面就電力系統(tǒng)勵(lì)磁控制和醫(yī)療設(shè)備控制兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行具體研究。

3.1最優(yōu)控制在電力系統(tǒng)勵(lì)磁控制中的應(yīng)用

近年來，隨著現(xiàn)代控制理論及其實(shí)際應(yīng)用的不斷發(fā)展，運(yùn)用現(xiàn)代控制理論進(jìn)行電力系統(tǒng)運(yùn)行性能的最優(yōu)化控制的研究工作有了迅速的發(fā)展，對如何按最優(yōu)化的方法設(shè)計(jì)多參量的勵(lì)磁調(diào)節(jié)器也取得了很大進(jìn)展。

3.1.1基于非線性最優(yōu)和PID技術(shù)的綜合勵(lì)磁調(diào)節(jié)器

對于非線性系統(tǒng)的同步發(fā)電機(jī)而言，當(dāng)它偏離系統(tǒng)工作點(diǎn)或系統(tǒng)發(fā)生較大擾動時(shí)，如果仍然采用基于PID技術(shù)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器，就會出現(xiàn)誤差。為此，可以將其用基于非線性最優(yōu)控制技術(shù)的勵(lì)磁調(diào)節(jié)器。但是，非線性最優(yōu)控制調(diào)節(jié)器存在著對電壓控制能力較弱的缺點(diǎn)，所以用一種能夠?qū)⒎蔷€性最優(yōu)勵(lì)磁調(diào)節(jié)器和PID技術(shù)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器有機(jī)結(jié)合的新型勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)原理。

此綜合勵(lì)磁調(diào)節(jié)器是利用非線性最優(yōu)控制理論的研究成果，其在非線性的勵(lì)磁控制中采用了精確線性化的數(shù)學(xué)方法，不存在平衡點(diǎn)線性化后的舍入誤差，因此該控制的數(shù)學(xué)模型在理論上對發(fā)電機(jī)的所有運(yùn)行點(diǎn)都是精確的；同時(shí)針對非線性的勵(lì)磁控制調(diào)壓能力較弱的特點(diǎn)，又增加了PID環(huán)節(jié)，使其具有較強(qiáng)的電壓調(diào)節(jié)特性此裝置在小機(jī)組試驗(yàn)中取得非常好的實(shí)驗(yàn)效果，在平衡點(diǎn)附近運(yùn)行和偏離平衡點(diǎn)較多時(shí)都具有很好的調(diào)節(jié)特性。

3.1.2自適應(yīng)最優(yōu)勵(lì)磁控制器

將自適應(yīng)控制理論與最優(yōu)控制理論相結(jié)合，通過多變量參數(shù)辨識、最優(yōu)反饋系數(shù)計(jì)算和控制算法運(yùn)算三個(gè)環(huán)節(jié)，可以實(shí)現(xiàn)同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁的自適應(yīng)最優(yōu)控制。

此發(fā)電機(jī)自適應(yīng)最優(yōu)勵(lì)磁方案，通過采用由帶可變遺忘因子的最小二乘算法構(gòu)成的多變量實(shí)時(shí)辨識器，使系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A和B中的元素值隨系統(tǒng)運(yùn)行工況的變化而變化，再經(jīng)過最優(yōu)反饋系數(shù)計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了同步電機(jī)的自適應(yīng)最優(yōu)勵(lì)磁控制。

雖然使用線性最優(yōu)控制理論求取反饋系數(shù)，但由于狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣中的元素值隨系統(tǒng)運(yùn)行工況的變化而變化，因而控制作用體現(xiàn)了電力系統(tǒng)的非線性特性，本質(zhì)上是一種非線性控制。

數(shù)字仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，該勵(lì)磁控制系統(tǒng)能夠自動跟蹤系統(tǒng)運(yùn)行工作狀況，在線辨識不斷變化的系統(tǒng)參數(shù)，使控制作用始終處于最優(yōu)狀態(tài)。從而改善了控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，可以提高電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。

3.1.3基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法的非線性勵(lì)磁控制

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性函數(shù)逼近學(xué)習(xí)能力和逆系統(tǒng)方法的線性化能力相結(jié)合，構(gòu)造出物理可實(shí)現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)了對被控系統(tǒng)的大范圍線性化，能夠在無需系統(tǒng)參數(shù)的情況下構(gòu)造出偽線性復(fù)合系統(tǒng)，從而將非線性系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為線性系的控制問題。

在大干擾情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法的控制器暫態(tài)時(shí)間很短，超調(diào)量很小，有效地改善了系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)品質(zhì)，提高了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此控制器還具有很好的魯棒性能。另外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法無需知道原系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及參數(shù)，，也不需要測量被控系統(tǒng)的狀態(tài)量，僅需要知道被控系統(tǒng)可逆及輸入輸出微分方程的階數(shù)，且結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。

3.1.4基于灰色預(yù)測控制算法的最優(yōu)勵(lì)磁控制

預(yù)測控制是一種計(jì)算機(jī)算法，它采用多步預(yù)測的方式增加了反映過程未來變化趨勢的信息量，因而能克服不確定性因素和復(fù)雜變化的影響?；疑A(yù)測控制是預(yù)測控制的一個(gè)分支，它需建立灰微分方程，能較好地對系統(tǒng)作全面的分析。應(yīng)用GM(1，N)對發(fā)電機(jī)的功率偏差、轉(zhuǎn)速偏差、電壓偏差序列值進(jìn)行建模，經(jīng)全面分析后求出各狀態(tài)量的預(yù)測值，同時(shí)根據(jù)最優(yōu)控制理論求出以預(yù)測值為狀態(tài)變量的被控勵(lì)磁控制系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益，從而得出具有預(yù)測信息的最優(yōu)勵(lì)磁控制量。

灰色預(yù)測控制理論中灰色建模和“超前控制”的思想較好地彌補(bǔ)了線性最優(yōu)控制理論中精確線性化和“事后控制”對單機(jī)無窮大系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明，此勵(lì)磁控制具有響應(yīng)速度快、準(zhǔn)確度高的特點(diǎn)，使電力系統(tǒng)在大小擾動下均能表現(xiàn)出較好的動態(tài)特性。

3.2最優(yōu)控制在醫(yī)療設(shè)備控制中的應(yīng)用

醫(yī)療設(shè)備成為醫(yī)院現(xiàn)代化程度的重要標(biāo)志之一和提供醫(yī)療服務(wù)[2]的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。隨著醫(yī)院的不斷發(fā)展壯大，醫(yī)療設(shè)備的更新?lián)Q代也就更為常見。各級各類醫(yī)院的醫(yī)療設(shè)備總量不斷增長，一方面滿足了日益增長的醫(yī)療衛(wèi)生需求，另一方面也出現(xiàn)了醫(yī)療設(shè)備配置是否合理、投入資金是否得以有效利用、使用率和完好率的高低、經(jīng)濟(jì)效益和社會效益好壞等一系列問題亟待研究。醫(yī)院分析醫(yī)療設(shè)備配置管理現(xiàn)狀，加強(qiáng)醫(yī)療設(shè)備，尤其是大型醫(yī)療設(shè)備的管理及效益統(tǒng)計(jì)和分析是相當(dāng)必要的，可以指導(dǎo)科學(xué)投資、改善經(jīng)營管理、提高綜合效益。

因此建立醫(yī)療設(shè)備的成本效益觀念，加強(qiáng)設(shè)備投入與產(chǎn)出分析，為醫(yī)療機(jī)構(gòu)科學(xué)投資、改善經(jīng)營管理以及社會與經(jīng)濟(jì)效益提供了重要保證。目前加強(qiáng)對醫(yī)用設(shè)備的成本管理，并通過控制[3]初始投資規(guī)模、合理配置資源和提高設(shè)備利用率來提高投資的經(jīng)濟(jì)性是非常必要的。

3.2.1問題分析與假設(shè)

某醫(yī)院購買了一臺大型醫(yī)療設(shè)備投入到使用中，該醫(yī)療設(shè)備隨著運(yùn)行時(shí)間的增加其磨損程度也愈來愈大，而其轉(zhuǎn)賣價(jià)將隨著使用設(shè)備的時(shí)間增加而減少；另一方面醫(yī)療設(shè)備總是要進(jìn)行日常保養(yǎng)，花費(fèi)一定的保養(yǎng)費(fèi)，保養(yǎng)可以減緩設(shè)備的磨損程度，從而提高設(shè)備的轉(zhuǎn)賣價(jià)。如何確定醫(yī)療設(shè)備[4]的最優(yōu)保養(yǎng)費(fèi)和轉(zhuǎn)賣時(shí)間，使得這臺設(shè)備的經(jīng)濟(jì)效益最大是本文的研究內(nèi)容。

根據(jù)上述分析，現(xiàn)作如下假設(shè)：

（1）設(shè)備隨其運(yùn)行時(shí)間的推移，磨損程度越來越大。t時(shí)刻設(shè)備的磨損程度可以用t時(shí)刻轉(zhuǎn)賣價(jià)的損失值來刻畫，其稱其為磨損函數(shù)或廢棄函數(shù)，記為m（t）。

（2）醫(yī)療設(shè)備的轉(zhuǎn)賣價(jià)是時(shí)間t的函數(shù)，計(jì)為p（t）。p（t）的大小與設(shè)備的磨損程度和保養(yǎng)費(fèi)的多少密切相關(guān)。記初始轉(zhuǎn)賣價(jià)p（0）=p₀。

（3）保養(yǎng)設(shè)備[5]可以減緩設(shè)備的磨損速度，提高轉(zhuǎn)賣價(jià)。如果u(t)是單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi)，g(t）是時(shí)刻的保養(yǎng)效益系數(shù)（每用一元保養(yǎng)費(fèi)所增加的轉(zhuǎn)賣價(jià)），那么單位時(shí)間的保養(yǎng)效益為g(t)u(t)。另外，保養(yǎng)費(fèi)不能過大（如單位時(shí)間保養(yǎng)費(fèi)超過單位時(shí)間產(chǎn)值時(shí)，保養(yǎng)失去了意義），只能在有界函數(shù)集中選取，記有界函數(shù)集為W，則u(t)∈W。

（4）設(shè)單位時(shí)間的產(chǎn)值與轉(zhuǎn)賣價(jià)的比值記為k，則kp（t）表示在t時(shí)刻單位時(shí)間的產(chǎn)值，即t時(shí)刻的使用率。

（5）轉(zhuǎn)賣價(jià)p（t）及單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi)u（t）都是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)。為了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，采用它們的貼現(xiàn)值。對于貼現(xiàn)值的計(jì)算，例如轉(zhuǎn)賣價(jià)p（t）的貼現(xiàn)值計(jì)算，如果它的貼現(xiàn)因子為δ（經(jīng)過單位時(shí)間的單位費(fèi)用貼現(xiàn)），那么由：

（6）欲確定的轉(zhuǎn)賣價(jià)值時(shí)間t_f和轉(zhuǎn)賣價(jià)p(t_f)都是自由的。

3.2.2模型建立

考察的對象是設(shè)備在使用中的磨損—保養(yǎng)系統(tǒng)；轉(zhuǎn)賣價(jià)體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標(biāo)，可以選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量；在使用中設(shè)備磨損的不可控性強(qiáng)，其微弱的可控性也是通過保養(yǎng)體現(xiàn)，加之保養(yǎng)本身具有較強(qiáng)的可控性，所以選單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi)作為控制策略。這樣，醫(yī)療設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益模型可以構(gòu)成為在設(shè)備磨損—保養(yǎng)系統(tǒng)的（轉(zhuǎn)賣價(jià)）狀態(tài)方程：

之下，在滿足0≤u(t)≤U的函數(shù)集W中尋找最優(yōu)控制策略u*(t)，使系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益這一性能指標(biāo)：

為最大，其中t_f，x(t_f)都是自由的。

3.2.3模型分析求解

根據(jù)上述模型可以得出關(guān)于醫(yī)療設(shè)備管理的哈密頓函數(shù)

在上述中，針對醫(yī)院大型醫(yī)療設(shè)備[6]的經(jīng)濟(jì)效益問題，采用最優(yōu)控制理論，建立了優(yōu)化模型，得出了醫(yī)療設(shè)備最優(yōu)控制策略的具體表達(dá)式，最后給出了實(shí)際算例，為醫(yī)院改善經(jīng)營管理以及社會與經(jīng)濟(jì)效益提供了依據(jù)。

4.總結(jié)

本文講解了最優(yōu)控制理論[7]要解決的問題并通過實(shí)例說明最優(yōu)控制理論的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，并就其在電力系統(tǒng)勵(lì)磁控制和醫(yī)療設(shè)備的控制應(yīng)用做了具體的研究。但實(shí)踐表明理論推導(dǎo)和實(shí)際應(yīng)用之間是有一定差距的，實(shí)際問題往往不能夠進(jìn)行精確的理論推導(dǎo)，因而今后要不斷深入研究最優(yōu)控制理論及其求解方法，總結(jié)最優(yōu)化方法的新進(jìn)展，運(yùn)用最優(yōu)化理論解決各類工程問題，從而驗(yàn)證最優(yōu)化理論的效率。

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