摘要：本文研究了PUMA560機(jī)器人在笛卡爾空間中的軌跡規(guī)劃問題，結(jié)合當(dāng)前工業(yè)機(jī)器人在笛卡爾空間中軌跡規(guī)劃的發(fā)展，對如何在高速環(huán)境下保持機(jī)器人末端運動的可行性和連續(xù)性軌跡規(guī)劃的關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行研究，利用NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline) 曲線插補(bǔ)算法，使得機(jī)器人末端軌跡速度連續(xù)平滑且加速度連續(xù)，有利于提高機(jī)器人的運行速度和減少機(jī)器人的機(jī)械本體的振動和關(guān)節(jié)磨損。該算法運用MATLAB編程并在計算機(jī)上仿真PUMA560機(jī)器人模型軌跡運動，驗證了軌跡規(guī)劃算法。

關(guān)鍵詞：工業(yè)機(jī)器人；軌跡規(guī)劃；MATLAB；NURBS插補(bǔ)算法

1.前言

基于笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃作為機(jī)器人軌跡規(guī)劃的一種方法，雖然在規(guī)劃中可能會出現(xiàn)奇異位形，其運動反解也比較復(fù)雜，但其軌跡的精確性是基于關(guān)節(jié)空間規(guī)劃的這種方法所無法比擬的,這樣的研究可參考文獻(xiàn)[1]。同時，隨著計算機(jī)處理速度的不斷提高，運動學(xué)反解的實時性也在不斷提高，而軌跡規(guī)劃中可能出現(xiàn)的奇異位形也可以通過仿真的方法加以修正。

目前，在笛卡爾空間中機(jī)械臂末端軌跡規(guī)劃最基本的插補(bǔ)算法是空間直線和圓弧的插補(bǔ)算法。很多給定曲線都可以分段成多段直線或圓弧，然后再進(jìn)行直線或圓弧插補(bǔ)。但對于一些復(fù)雜的自由曲線難以用簡單的解析曲線表示，而要用列表形式給出。如果對這些復(fù)雜自由曲線進(jìn)行多段直線或圓弧擬合，為了保證精度要求，復(fù)雜曲線必須分為很多小段直線或圓弧，這不僅導(dǎo)致編程復(fù)雜，效率降低，而且運動速度都受到嚴(yán)重的影響[2]。

因此，在機(jī)器人控制系統(tǒng)中加上B樣條曲線插補(bǔ)功能，這能很好地解決復(fù)雜自由曲線路徑的問題。而相對簡單的三次B樣條曲線在很大程度上能符合生產(chǎn)要求。所以，將三次B樣條曲線插補(bǔ)功能應(yīng)用于機(jī)器人控制系統(tǒng)中能很好地提高自由曲線連續(xù)路徑操作中的精度和速度要求。

本文針對以上情況，采用了一種基于NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline)曲線的可以對曲線弧長和曲線控制參數(shù)生成光滑的運動學(xué)軌跡輪廓的新廣義插值算法。同典型的預(yù)先生成整個路徑軌跡的運動學(xué)軌跡輪廓的方法相比，這種方法是在每個采樣周期遞歸的生成具有光滑運動學(xué)軌跡輪廓的連續(xù)路徑軌跡。這種遞歸的方法允許在路徑軌跡運行中修改運動的速度，以避免一些比如曲線的曲率突變等意外的影響，從而對混合曲線類型的路徑軌跡使用超前預(yù)估功能獲得一條光滑的運動學(xué)軌跡輪廓。

2.機(jī)器人笛卡爾空間的NURBS插補(bǔ)算法研究

NURBS曲線比較復(fù)雜，計算量比較大，為了保證實時性，在實時插補(bǔ)前需先將相關(guān)公式及其系數(shù)計算出來。在NURBS插補(bǔ)中，預(yù)處理主要是確定每段NURBS的表達(dá)式，換言之，就是要在插補(bǔ)前根據(jù)NURBS的控制頂點、權(quán)因子和節(jié)點矢量求解NURBS表達(dá)式中的相關(guān)系數(shù)。目前有兩種方法：一種是依據(jù)德布爾遞推計算公式或給出三次NURBS基函數(shù)，可以很方便計算出NURBS曲線每一段的有理化表達(dá)式；另外一種是采用矩陣表達(dá)式[3]。

矩陣表達(dá)式這種形式使計算和分析都非常簡單，所以本文采用這種方法。而對于插補(bǔ)點參數(shù)的求取，本文采用了泰勒展開法和探索法，同時考慮到精度問題，應(yīng)用了預(yù)估-校正的方法修正參數(shù)和約束弦高誤差來約束插補(bǔ)步長。

2.1三次NURBS表達(dá)式

已知控制點序列為，其對應(yīng)的權(quán)因子序列為，和節(jié)點矢量為，則NURBS有理分式表達(dá)式為[4]：

(1)

式中：B3、B2、B1、B0——分子系數(shù)矢量；B3、b2、b1、b0——分母系數(shù)矢量。

。并記：。

根據(jù)NURBS有理分式可解出三次NURBS曲線表達(dá)式第i-2段的具體表達(dá)式為：

(2)

式中：

(3)

將式子(1)與式子(2)比較可得軌跡表達(dá)式(1)中分子分母系數(shù)矢量計算公式：

(4)

2.2參數(shù)密化

先利用一階泰勒展開法算出前三點的參數(shù)值，再使用探索法[5]求其他點的參數(shù)值。一階泰勒展開式：

， (5)

式中，為插補(bǔ)步長。

探索法：(6)

2.3修正參數(shù)

由泰勒展開法和探索法得到的參數(shù)值作為此次參數(shù)插補(bǔ)的預(yù)估值，將其代入(1)可得到預(yù)估插補(bǔ)點[5]：

(7)

對應(yīng)預(yù)估進(jìn)給步長為:

(8)

采用預(yù)估法得到的和期望步長之間存在偏差，可用相對誤差進(jìn)行評定：

(9)

式中，是期望插補(bǔ)步長(將在下面確定)。

當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)時，可認(rèn)為即為所求的，否則按下式進(jìn)行修正直至達(dá)到允許域內(nèi)：

(10)

2.4約束插補(bǔ)步長

為了提高插補(bǔ)精度，應(yīng)該利用約束弓高誤差來約束插補(bǔ)步長。插補(bǔ)弓高誤差與插補(bǔ)步長及曲線曲率半徑

之間存在如下關(guān)系[3]：

(11)

為了計算方便，這里用曲線段中點與弦長中點的距離來代替弓高誤差，如圖1，即：

(12)

式中，是由式子(5)或者式子(6) 確定的預(yù)估參數(shù)，是由式子(7)確定的預(yù)估插補(bǔ)點。

通常，與弓高誤差h之間的偏差很小，只是在曲線的拐點附近可能有較大誤差，但拐點附近的曲線曲率往往較小，則相應(yīng)的插補(bǔ)誤差也較小。因此，這種近似具有工程合理性。根據(jù)式子(11)中插補(bǔ)誤差與進(jìn)給步長的關(guān)系可得約束進(jìn)給步長表達(dá)式：

(13)

式中，是由式(8)確定的預(yù)估步長。

圖1 弓高誤差的近似

2.5確定期望插補(bǔ)步長

期望插補(bǔ)步長為[6]:

(14)

其中為弓高約束求得的步長，為無約束狀態(tài)的步長，勻速運動時為。將式(14)結(jié)合式(8)代入修正式(10)即可求得新的修正后的插補(bǔ)參數(shù)。

2.6插補(bǔ)點生成[10]

將軌跡空間映射到一維參數(shù)空間，在一維參數(shù)空間完成對參數(shù)的密化工作，得到一系列的參數(shù)值，接下來我們將參數(shù)接下來我們將參數(shù)代入如下我們規(guī)劃的NURBS曲線表達(dá)式中：

(15)

，，即為所得插補(bǔ)點坐標(biāo)，將一系列插補(bǔ)點相連，就得到了機(jī)器人的運動軌跡，至此即完成了整個插補(bǔ)過程。

3.NURBS曲線插補(bǔ)算法的實現(xiàn)

根據(jù)以上論述，我們采用預(yù)估-校正方法進(jìn)行參數(shù)的計算，可得算法流程如圖2：首先生成NURBS曲線軌跡[8]，即確定NURBS參數(shù)方程，然后完成插補(bǔ)，即計算各插補(bǔ)點對應(yīng)的參量u，代入NURBS參數(shù)方程(15)求得各插補(bǔ)點坐標(biāo)。

(16)

圖2 NURBS曲線插補(bǔ)算法流程圖

4.仿真結(jié)果與分析

以PUMA560機(jī)器人作為研究對象，驗證算法在MATLAB中編程實現(xiàn)，并把算法產(chǎn)生的軌跡插值點數(shù)據(jù)輸入到MATLAB中，由MATLAB完成圖像的繪制并輸出顯示。

4.1仿真算例1-空間圓弧的NURBS插補(bǔ)

利用本文第2部分相關(guān)知識與文獻(xiàn)[3][9]得出的半徑為20的圓弧三次NURBS，

則表達(dá)式為：

(17)

其中節(jié)點矢量為：

，控制頂點為:，相應(yīng)權(quán)因子分別為：。設(shè)機(jī)器人運動的姿態(tài)保持不變，用RPY變換姿態(tài)角表示為(0.2，0.5，0.7)，單位為弧度(rad)。設(shè)曲線運動的期望速度為200mm/s，插補(bǔ)周期為10ms。為了保證插補(bǔ)精度，插補(bǔ)過程中增加了弦高誤差約束，設(shè)弦高最大允許值為0.5mm，修正相對誤差最大允許值為0.5mm。

利用NURBS]曲線的生成程序，可生成用NURBS表示的半圓弧圖形如圖3所示。其中的多邊形是用各個控制頂點連接而成的控制多邊形。利用代入法，代入某些參數(shù)值計算，則知各個點均是在以原點為圓心，半徑為20的半圓弧上。

圖3利用NURBS表示的圓弧形狀

將圖3用NURBS表示的半圓弧各參數(shù)值存成文本文件于MATLAB的Work空間內(nèi)，利用NURBS曲線的插補(bǔ)程序，讀取指令格式，可進(jìn)行實時動態(tài)軌跡插補(bǔ)，最終得其插補(bǔ)軌跡如圖4。

圖4圓弧的NURBS插補(bǔ)軌跡

圖5機(jī)器人末端位姿各分量變化圖

仿真結(jié)果表明，采用NURBS插補(bǔ)算法的機(jī)器人末端運動軌跡是光滑連續(xù)的，在期望速度下能保證路徑的平滑和軌跡曲線的連續(xù)。

4.2仿真算例2-星型曲線的 NURBS實時插補(bǔ)

假定以下控制點及節(jié)點矢量，可得圖6仿真結(jié)果：(數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[3])

控制頂點依序為：{60，170，10}、{45，150，10}、{20，150，10}、{40，130，

10}、{35，110，10}、{60，125，10}、{85，110，10}、{80，130，10}、{100，150，10}、{75，150，10}、{60，170，10}。

權(quán)因子分別?。簑=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]。

節(jié)點分別為： N =[0，0，0，0，0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875，1，1，1，1]。

圖6星型曲線仿真結(jié)果圖

仿真結(jié)果顯示，除起點處和結(jié)束處插補(bǔ)點間隔逐步均勻加大外(圖6)，其余插補(bǔ)點非常均勻，表明插補(bǔ)很平穩(wěn)，效果很好。

4.3仿真算例3-蝴蝶型曲線的 NURBS實時插補(bǔ)

根據(jù)如下控制點及控制矢量，可以得到利用NURBS實時插補(bǔ)得到的蝴蝶型曲線(數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[7])。

控制頂點依序為：{104.493，152.139，10}、{105.507，152.139，10}、{106.082，149.615，10}、{106.78，144.971，10}、{119.575，151.358，10}、{127.786，158.573，10}、{140.526，167.081，10}、{155.973，163.801，10}、{150.4，147.326，10}、{144.567，139.913，10}、{142.369，130.485，10}、{133.44，133.757，10}、{141.892，128.509，10}、{139.444，120.393，10}、{133.218，115.446，10}、{137.621，104.83，10}、{130.945，109.267，10}、{129.834，114.535，10}、{126.074，108.522，10}、{120.183，112.55，10}、{114.171，116.865，10}、{109.993，122.122，10}、{105.68，136.359，10}、{106.925，124.995，10}、{109.765，119.828，10}、{104.493，114.94，10}、{99.22，119.828，10}、{102.06，124.992，10}、{103.305，136.359，10}、{98.992，122.122，10}、{94.814，116.865，10}、{88.802，112.551，10}、{82.911，108.521，10}、{79.152，114.535，10}、{78.04，109.267，10}、{71.364，104.83，10}、{75.768，115.447，10}、{69.539，120.391，10}、{67.097，128.512，10}、{75.537，133.75，10}、{66.602，130.496，10}、{64.199，139.803，10}、{58.668，147.408，10}、{53，163.794，10}、{68.465，167.084，10}、{81.197，158.572，10}、{89.411，151.358，10}、{102.204，144.971，10}、{102.904，149.614，10}、{103.478，152.139，10}、{104.492，152.139，10}。

權(quán)因子分別?。簑=[1，1，1，1.2，1，1，1，1，1，1，1，2，1，1，5，3，1，1.1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1.1，1，3，5，1，1，2，1，1，1，1，1，1，1，1.2，1，1，1]。

節(jié)點分別為：N =[0，0，0，0，0.008286，0.014978，0.036118，0.085467，0.129349，

0.150871，0.193075，0.227259，0.243467，0.25608，0.269242，0.288858，0.316987，0.331643，0.348163，0.355261，0.364853，0.383666，0.400499，0.426851，0.451038，0.465994，0.489084，0.499973，0.510862，0.533954，0.54891，0.573096，0.599447，0.61628，0.635094，0.644687，0.651784，0.668304，0.682958，0.711087，0.730703，0.743865，0.756479，0.772923，0.806926，0.84913，0.870652，0.914534，0.963883，0.985023，0.991714，1，1，1，1]。

圖7蝴蝶型曲線仿真結(jié)果圖

圖8各關(guān)節(jié)角的變化圖

圖9各關(guān)節(jié)角的速度圖

圖10各關(guān)節(jié)角的加速度圖

仿真結(jié)果顯示，插補(bǔ)點分布大部分很均勻，在幾處曲率較小的拐角存在變化，速度和加速度在曲率比較小的四處拐角處還存在明顯的突變情況，大部分都能在許可范圍內(nèi)波動，表明系統(tǒng)存在少許沖擊，但均在允許的范圍之內(nèi)。

5.結(jié)論

采用NURBS插補(bǔ)算法，對機(jī)械手末端的運動軌跡進(jìn)行規(guī)劃。在NURBS算法中，為了保證插補(bǔ)精度，增加了利用弓高誤差來約束插補(bǔ)步長，由于NURBS算法中增加了弦高誤差約束插補(bǔ)步長，所以運動的位移曲線不確定，導(dǎo)致運動軌跡不平滑，運動速度和加速度有少許波動，但均在允許的范圍之內(nèi)，不過它可以比較精確地插補(bǔ)各種自由曲線，可以滿足用戶的很多要求，隨著計算機(jī)運算能力和儲存能力的提高，NURBS將更為廣泛地應(yīng)用在機(jī)器人的軌跡規(guī)劃中來表示軌跡路徑。

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